 |
| ما هي المفاهيم الرياضية ؟ |
بحث عن المفاهيم الرياضية :
مقدمة عن المفاهيم الرياضية :
تعد المفاهيم هي اللبنة الأساسية لمنهج الرياضيات، فهي الأساس لمجسم الأنظمة والهياكل الرياضية حيث إن اللجنة القومية لمعلمي الرياضيات بأمريكا (NCTM ) (1989 ) أشارت إلى أن المفاهيم هي جوهر العملية الرياضية وأن الرياضيات تصبح ذات معنى وأكثر وضوحا وفهما إذا أدرك المتعلمون المفاهيم الرياضية ومعناها وتفسيرها. (وليم عبيد، وآخرون، 76:1998 )
ولذلك لا بد من التعريج إلى معنى المفهوم.
معنى المفهوم :
أن المفهوم هو الصفة المجردة المشتركة بين جميع أمثلة ذلك المفهوم وكذلك هو وضع الأشياء ضمن فصيلة واحدة وذلك بدلالة الخصائص المعيارية لهذه الأشياء، يعطي هذه الفصيلة مصطلح المفهوم "كما أنه يعرف المفهوم أيضا على أنه تجريد ذهني لخصائص مشتركة لمجموعة من الخبرات أو الأشياء. (فريد أبو زينة، 134:1990 )
تعريف المفهوم الرياضي :
1. المفهوم الرياضي عبارة عن فكرة أو مجموعة من الأفكار تستخدم لتبويب مجموعة من المدركات وتتميز دائما بكلمة أو عبارة أو رمز تصبح اسما للمفهوم . ( Good , 1973 )
2. هو فكرة أو صورة عقلية بشيء يتكون عن طريق التعميم للخصائص المشتركة. ( Gagne , 1977 ) ( ولیم عبيد، وآخرون، 76:1998 ).
المظاهر المتصلة بالمفاهيم الرياضية :
نخلص مما سبق الى ان المفهوم هو السمة المميزة أو الصفة التي تتوافر في جميع الأمثلة الدالة على ذلك المفهوم.
فمثلا السمة المميزة للمثلث هي أنه شكل مغلق مكون من ثلاث قطع مستقيمة تتلاقي عند الأطراف ولكن هناك مثلثات كثيرة مختلفة في نوعها، فهناك الكبير والصغير والقائم الزوايا والحاد ومتساوي الساقين وغيرها، ولكن لكل هذه المثلثات مشترك في السمة أو الصفة نفسها ومجموعة الأشياء التي يحددها مفهوم ما تسمى مجموعة المرجع أو الأشياء .
يتصل بالمفهوم أربعة مظاهر أساسية هي :
(وليم عبيد ، وآخرون، 125:2000 )
الأول: فراغ المفهوم:
ويشمل جميع الحالات التي لها صفات وخواص المفهوم فمثلا مفهوم متوازي الأضلاع فراغه: جميع الأشكال الهندسية الرباعية تشترك جميعها في صفة وخاصية موحدة وهي أن كل ضلعين متقابلين من أضلاعها متوازيان.
الثاني: مصطلح المفهوم :
وهو الاسم أو الرمز الذي يطلق على المفهوم في ضوء الخواص المشتركة بين عناصر فراغه.
والثالث: محتوى المفهوم :
وهو تلك العبارة التي تحدد الشروط الضرورية والكافية للمفهوم أي تلخص وتجمع الخواص المتوفرة في عناصر الفراغ والتي تميزها الخواص.
والرابع: تعريف المفهوم :
التعريف هو متساوية أحد طرفيها مصطلح المفهوم ( اسم المفهوم ) وطرفها الآخر جملة خبرية شارحة (محتوى المفهوم) .
ولذلك فالتعريف يتضمن الشرط اللازم والكافي لدلالة المفهوم فالشروط اللازمة هي تأكيد رياضي يكفي لتحقيق صدق عبارة ما والشرط الكافي الذي نشتق منه منطقيا عبارة ما وتكون فمثلا: إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع، فإنه يكون فيه ضلعان متقابلان متساويان.
الشرط " ضلعان متقابلان متساويان " شرط لازم ولكنه غير كاف لتكوين متوازي الأضلاع، أما العبارة " أربعة أضلاع متساوية " شرط كاف ولكنه غير لازم، أما العبارة " إذا كان الشكل متوازي أضلاع " فإنه يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان" فإنها تتضمن الشرط اللازم والكافي .
ولكي يدرك المتعلم المفهوم الرياضي لا بد من:
- التعرف على المفهوم، أي معرفة مصطلح المفهوم ومعرفة محتواه.
- ذكر الخصائص المشتركة للأشياء التي يدل عليها المفهوم.
- استخدام المفهوم.
- ذكر أمثلة ولا أمثلة للمفهوم.
تصنيفات المفاهيم الرياضية :
يمكننا تصنيف المفاهيم الرياضية كالتالي :
(1) مفاهیم انتقالية :
وتمثل عملية تجريد لبعض الظواهر الفيزيقية، ويتم تدريسها عادة في المراحل الأولى الدراسة الرياضيات، وغالبا ما يعاد بناء هذه المفاهيم في مراحل متقدمة بصورة أكثر تجریدا، مثل الطول والمحيط، المساحة، الحجم... الخ.
(2) مفاهيم أولية :
وهي المفاهيم غير المعرفة في بنية أي نظام رياضي معين ، مثل: النقطة، الخط المستقيم، المستوى.... الخ.
(3) مفاهيم تتعلق بخواص بنية النظام الرياضي:
مثل الانغلاق ، العنصر المحايد ، التجميع ، الإبدال.... الخ
(4) مفاهیم ربطية :
وهي المفاهيم التي تتوفر في عناصر فراغها أكثر من خاصية، وتستخدم أداة الربط " و" عند صياغة العبارة التي تصف محتوى المفهوم مثل مفاهيم: الزمرة، المربع، المعين...... الخ
(5) مفاهیم فصلية:
وهي التي تبرز فيها خاصية واحدة من بين عدة خواص تتوفر في عناصر فراغها، وتستخدم أداة الربط " أو " عند صياغة العبارة التي تعبر عن محتوى المفهوم، مثل مفاهیم: العدد الصحيح غير السالب فهو عدد صحيح موجب أو يساوي الصفر، أكبر من أو يساوي، اتحاد المجموعات...... الخ.
(6) مفاهيم العلاقات:
وهي التي تشمل على علاقة معينة بين عناصر فراغها، مثل مفاهیم: أكبر من، أصغر من، الاقتران، التناظر الأحادي... الخ
(7) مفاهيم إجرائية (تتعلق بعمليات):
مثل مفاهیم: الجمع، الضرب، التجزيء، الاشتقاق، الضرب التقاطعي المجموعات .... الخ. ( فايز مينا ، 1994 : 51 ) ( أحمد الشارف ، 1997 : 30-33 )
مخططات المفاهيم في تدريس الرياضيات :
(عفانة، السر، وأحمد، والخزندار، 82:2007 -86)
جاءت فكرة مخططات المفاهيم Concept Map من نظرية أوزبل التي تسمى بنظرية التمثيل المعرفي Cognitive Representation حيث ركز في نظريته على فكرة اكتساب المعانی الجديدة للمفهوم الرياضي من خلال التمثيل الحادث مع المفاهيم الموجودة سابقا في البنية العقلية للمتعلم (كمال زيتون، 137:2002 ) .
إلا أن نوفاك Novak طور الفكرة التي قدمها أوزبل إلى ما يسمى بمخططات المفاهيم أو ما عرف بالمخططات المعرفية Cognitive Maps .
يمكن تعريف مخططات المفاهيم في تدريس الرياضيات بأنها :
بأنها عبارة عن رسوم تخطيطية ثنائية البعد، تترتب فيها مفاهيم المادة الدراسية في صورة هرمية، تعكس العلاقات المتداخلة بينها، بحيث تتدرج من المفاهيم الأكثر شمولية والأقل خصوصية في قمة الهرم إلى المفاهيم الأقل شمولية والأكثر خصوصية في قاعدة الهرم، وتحاط هذه المفاهيم بأطر ترتبط ببعضها بأسهم مكتوب عليها نوع العلاقة، وذلك من أجل الاستفادة منها في تقييم الفهم المفاهيمي لدى المتعلم حول موضوع معين . (1984, Novak and Gowin)
مبادئ مخططات المفاهيم الرياضية :
تعتمد على ثلاثة مبادئ أساسية، وهي:
(1) التركيب الهرمي Hierarchical structure :
ويعني إظهار الروابط الهرمية بين المفاهيم الرئيسية التي تكون أكثر عمومية والمفاهيم الفرعية التي تكون أقل عمومية، وتتصل المفاهيم الفرعية بكلمات رابطة من خلال أسهم تدل على اتجاه هذه الرابطة وبالتالي تأخذ المفاهيم شكلا بنائية يتطور من المفاهيم المتسعة إلى المفاهيم الضيقة، لما يشكل نموذجا مترابطة للبنية التفكيرية عند المتعلم حول الموضوع الرياضي المطروح.
(2) التمايز المستمر progressive Differentiation :
وهذا المبدأ يرتبط بعمليات التعلم التي يقوم بها المتعلم من خلال التفريق بين المفاهيم بصورة أكثر وضوحا وثباتا، حيث يستطيع المتعلم أن يكتسب القدرة التمييزية بين المفاهيم الرياضية من خلال ترجمتها إلى مخططات مفاهيم تتدرج من العمومية إلى الخصوصية، بمعنى التمييز بين الرياضيات الرئيسية والفرعية التي تمثلها بأسهم كلمات رابطة ذات معنی.
(3) التصالح التكاملي Integrative Reconciliation :
ويقصد بذلك تحديد وتطوير المفاهيم الرياضية من خلال ارتباط المفاهيم المقدمة للمتعلم من المفاهيم المكتسبة لديه، حيث يتكون لدى المتعلم مفاهيم رياضية جديدة ذات معنی، تختلف عن المفاهيم المكتسبة والجديدة المقدمة له، لذا فإن مخططات المفاهيم تعد أداة فاعلة في إحداث التصالح التكاملي في المفاهيم وتأكيده، وذلك من خلال التوافق والانسجام بين تلك المفاهيم لتكوين مفاهيم جديدة ذات معنى، حيث إن العلاقات والروابط اللفظية والرمزية بين المفاهيم الرئيسة والفرعية أو بين الفرعية والأكثر تفرعة على المخطط المفاهيمي تعد مهمة في إعطاء معاني جديدة لتلك المفاهيم، وتقود لفهم أوسع وأشمل لموضوع المخطط المطروح. ( عزو عفانة ، 2001 : 427 )
استراتيجيات مخططات المفاهيم في تدريس الرياضيات :
وتستخدم استراتيجيات مخططات المفاهيم في تدريس الرياضيات، وهناك ثلاث استراتيجيات أساسية يمكن لمعلم الرياضيات استخدمها في البيئة الصفية وهي :
الاستراتيجية الأولى :
إعطاء مخططات المفاهيم المعدة مسبقا من معلم الرياضيات قبل البدء بالدرس الجيد، كمنظم متقدم Advanced organizer للانتقال بالمتعلم من العموميات أو المجردات التي تم تعلمها في الموضوع الرياضي السابق، وربطها بمضامين الموضوع الجديد لإحداث التعلم ذي المعنى، مع توضيح وتفسير المفاهيم الجزئية أو الفرعية المتضمنة للمخطط المفاهیمی والعلاقات القائمة بينها.
الاستراتيجية الثانية :
إعطاء مخططات المفاهيم المعدة مسبقا من معلم الرياضيات في نهاية الدرس، كمنظم متأخر Late organizer للانتقال بالمتعلم من العموميات أو المجردات التي تعلمها في الموضوع الرياضي الجديد وربطها بمضامين الموضوع الرياضي اللاحق، لإحداث التعلم ذي المعنى مع توضيح وتفسير مسبق لمضامين المحتوى الرياضي قبل عرض المخطط المفاهيمي بصورته الشاملة.
الاستراتيجية الثالثة :
أن يقوم المعلم بتوضيح وتفسير العناصر الأساسية للدرس، ثم يكلف طلابه بصناعة مخططات مفاهيم تتعلق بموضوع الدرس، وذلك من خلال العمل الفردي أو الجماعي، وقد پیسر المعلم على طالبه في عمل مخططات المفاهيم بإعطاء بعض المفاهيم الأساسية، ثم يقوم المتعلمون بعمل المخططات بحيث تتضمن تلك المفاهيم والعلاقات القائمة بينها. ( عزو عفانة، خالد السر، ومنير أحمد، ونائلة الخزندار، 253:2007 -255).
أهمية مخططات المفاهيم في تدريس الرياضيات :
ان لمخططات المفاهيم أهمية في تدريس الرياضيات نذكر منها :
(1) تلعب مخططات المفاهيم دورا هاما في تنظيم المعرفة الرياضية على شكل هرمي تساعد المتعلمين على التفاعل الإيجابي مع المضامين المتعلقة بفروع الرياضيات، وتسمح لهم بإدراك العلاقات الإبداعية بين المفاهيم وتصحيح المفاهيم الخطأ والتأكيد علي صحة المفاهيم الحقيقة. (عزو عفانة، وجميل الزعانين 112:2001 )
(2) تعد مخططات المفاهيم من أدوات التدريس الفعالة في تدريس الرياضيات وذلك من خلال جعل المتعلم في حالة من التفكير المستمر في تكوين وبناء المخطط المفاهيمي القائم على العلاقات الرياضية المختلفة التي تربط المفاهيم الرئيسية بالمفاهيم الفرعية، حيث إن المتعلم يقوم بتصنيف وتمييز المفاهيم على أساس المفاهيم الأكثر أهمية إلى الأقل أهمية مستخدما قدراته التفكيرية في وضع مثل هذه المخططات معتمدا على نفسه. (1990 , Novak) (okebukola, 19, 1992)
(3) تساعد مخططات المفاهيم في تخفيف القلق وتحسين اتجاهات المتعلمين نحو تعلم الرياضيات، حيث يتم تعلم تلك المخططات بصورة فردية أو جماعية، الأمر الذي يمكن المتعلمين من التفاعل بمضامين المادة الرياضية، وكذلك تفاعلهم مع بعضهم البعض، مما يقلل من قلق الفشل الناتج عن حفظ المادة الرياضية بتفاصيلها الجزئية . ( jegede, 1990
(4) تستخدم كأداة تشخيصية لتقييم تعلم الرياضيات، حيث تتم مقارنة المخطط المفاهيمي الذي يصنعه المتعلمون بالمخطط المفاهيمي الذي يضعه المعلم أو الخبراء في مجال المناهج الدراسية للتعرف على مدى فهم المتعلمين للبنية الرياضية للموضوع، وذلك من خلال ترجمة المفاهيم والعلاقات الرياضية والفروع المختلفة للمخطط المفاهيمي إلى درجات كمية (عزو عفانة، 444:2001 )
(5) يستفاد من مخططات المفاهيم في إثراء وتطوير مناهج الرياضيات وتصميمها وذلك من تحليل المضامين الرياضية في مقررات الرياضيات إلى المفاهيم والعلاقات القائمة بينها، ورسم المخططات لتلك المضامين والتعرف على الفجوات الموجودة فيها ومحاولة سد تلك الفجوات ثم تحويلها إلى مضامين رياضية متناسقة ومنظمة تساعد المتعلمين على الفهم بصورة أفضل حيث إن هذه المثيلات للمفاهيم الرياضية تساعدنا في رسم صورة منطقية للمقررات الدراسية ومدی ترابطها سواء أكان ذلك أفقيا أم رأسيا، كما أن تضمين المقررات الرياضية لبعض المخططات في نهاية الموضوع الرياضي أو الوحدة الدراسية ينمي لدى المتعلمين القدرة على التفكير البصري ويعطيهم صورة شاملة عن بنية الموضوع الرياضي في المقررات (عزو عفانة، 21:2001 )
(6) كما تعمل مخططات المفاهيم على إحداث التغير المفهومي للمفاهيم الرياضية الخطأ، بل وتعد أداة فاعلة في علاج التصورات الخطأ في المفاهيم الرياضية التي تكونت سابقا لدى المتعلمين وخاصة لدى منخفضي التحصيل في الرياضيات.
تعلم وتعليم المفاهيم :
من المعلوم، وحسب نظريات التعلم، أن أولى أنماط المعرفة العلمية التي يكتسبها الطفل تنشأ من خبراته المباشرة التي يكتسبها عن طريق حواسه، فالطفل يبتهج بهذه الخبرات التي تصل إليه عن طريق البصر والمس والشم والذوق وقبل أن يكون الطفل المفهوم لا بد وأن يتعامل مع المدركات الحسية، وهنا يكون قد تكونت لديه المفاهيم لهذه المدركات الحسية. ( نشوان، 100:1992 ).
ولا بد من توفير شروط تكوين المفهوم لدى المتعلم كما ذكرنا سابقا من فراغ المفهوم ومحتواه ومصطلحه وتعريفه بشرطية اللازم والكافي، وقد دلت أكثر الدراسات على أن المفاهيم يتم اكتسابها بطريقتين هما طريقة الاستقراء والتي تعتمد على السير من الجزء إلى الكل، وطريقة الاستنباط والتي تعتمد على السير من الكل إلى الجزء، ولذلك يتم تدريس المفاهيم بطريقتين هما الطريقة الاستقرائية ويتم استخدام هذه الطريقة إذا كان الوقت المحدد للتعلم طويلا وتقوم على أساس تقديم الأمثلة للمتعلم أولا ثم الوصول (الاستدلال) إلى قاعدة المفهوم، والطريقة الاستنباطية وتستخدم عندما لا يتوفر الوقت لاستخدام الطريقة الاستقرائية، وفيها يعطي المعلم المفهوم المراد تعلمه، ثم تقدم الأمثلة للمفهوم.
قواعد يجب مراعاتها عند تدريس المفاهيم :
من القواعد التي يجب مراعاتها عند تدريس المفهوم :
(1) تحديد نوع المفهوم (دالي - علائقي - تعريفي - جمعي - فردي - حسي - مجرد).
(2) تحديد السمات الحرجة للمفهوم ولفت النظر إليها عند ضرب الأمثلة الإيجابية عن المفهوم.
(3) ضرب أمثلة إيجابية من المجموعة المرجعية للمفهوم مع أمثلة سلبية من غير المجموعة المرجعية مع تفسير كلتا الحالتين.
(4) ربط المفهوم بالخبرات السابقة اللازمة لتعلمه.
(5) صياغة المفهوم بلغة واضحة تتضمن جميع الصفات الحرجة للمفهوم.
(6) إعداد مجموعة من التدريبات ليعمل عليها المتعلمون فرادى وجماعات.
تعليقات